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己知 $f\left(x\right)$ 在 ${x_0}$ 处可导，则 $\mathop{\lim}\limits_{h\to0}\dfrac{{{f^2}\left({{x_0}+3h}\right)-{f^2}\left({{x_0}-h}\right)}}{h}=$  \((\qquad)\)
A: $4f'\left({{x_0}}\right)$
B: $8f'\left({{x_0}}\right)$
C: $4f'\left({{x_0}}\right)f\left({{x_0}}\right)$
D: $8f'\left({{x_0}}\right)f\left({{x_0}}\right)$
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    函数极限
【答案】
D
【解析】
由题意，得\[\begin{split}\mathop{\lim}\limits_{h\to 0}\dfrac{{{f^2}\left({{x_0}+3h}\right)-{f^2}\left({{x_0}-h}\right)}}{h}&=4\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{[{f\left({{x_0}+3h}\right)-f\left({{x_0}-h}\right)}]\cdot[f(x_0+3h)+f(x_0-h)]}{(x_0+3h)-(x_0-h)}\\&=4\cdot f'(x_0)\cdot 2f(x_0)\\&=8f'\left({{x_0}}\right)f\left({{x_0}}\right).\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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