根据题意有\[\begin{cases} f(g(0))\geqslant 0,\\ f(g(1))\geqslant 0,\end{cases}\]解得 $a\geqslant -2$．
当 $a\geqslant -2$ 时，$f(t)\geqslant 0$ 的解集必然包含 $[1,2]$．接下来尝试证明\[\forall x\in [0,1],1\leqslant 2^x-x^2\leqslant 2,\]也即\[\forall x\in [0,1],\ln\left(x^2+1\right)\leqslant x\ln 2\leqslant \ln \left(x^2+2\right).\]左侧不等式记\[\varphi(x)=\ln \left(x^2+1\right)-x\ln 2,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-\ln 2,\]函数 $\varphi'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此 $\varphi(x)$ 的最大值在区间端点处取得，而\[\varphi(0)=\varphi(1)=0,\]因此左侧不等式在 $[0,1]$ 上恒成立．
右侧不等式记\[\mu(x)=\ln\left(x^2+2\right)-x\ln 2,\]则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}-\ln 2,\]函数 $\mu'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，于是\[\mu'(x)\leqslant \mu'(1)=\dfrac 23-\ln 2<0,\]因此函数 $\mu(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，进而\[\mu(x)\geqslant \mu(1)=\ln 3-\ln 2>0,\]因此右侧不等式在 $[0,1]$ 上恒成立．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-2,+\infty\right)$．
其他解法得到 $a\geqslant 2$ 后也可以直接研究函数 $g(x)=2^x-x^2$，证明 $g(x)\in[1,2]$．
对 $g(x)$ 求导得$$g'(x)=2^x\ln2-2x,g''(x)=2^2(\ln 2)^2-2,$$于是 $g''(x)$ 是增函数，而 $g''(1)<0$，所以 $g'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减．又 $g'(0)>0,g'(1)<0$，所以 $g'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一的零点 $m$，且 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 单调递增，在 $(m,1)$ 单调递减，而 $g(0)=g(1)=1$，所以 $g(x)\geqslant 1$，下面证明 $g(x)\leqslant 2$ 即可．从而 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 有最大值 $g(m)=2^m-m^2$，且满足$$2^m\ln 2=2m,m\in(0,1).$$从而得到$$g(m)=-m^2+\dfrac 2{\ln 2}m=-\left(m-\dfrac 1{\ln 2}\right)^2+\dfrac 1{(\ln 2)^2},$$因为 $\dfrac 1{\ln 2}>1$，所以$$g(m)<g(1)=-1+\dfrac 2{\ln 2}<-1+\dfrac 2{2/3}=2.$$最后一步用到了 $\ln 2>2\cdot\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac 23$．