已知向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$，满足 $|\overrightarrow{a}|=3, |\overrightarrow{b}|=2$，且对任意的实数 $x$，不等式 $|\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 恒成立，设 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\tan\theta$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
$\because |\overrightarrow{a}|=3, |\overrightarrow{b}|=2, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\theta$，且对任意的实数 $x$，不等式 $|\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 恒成立，$\therefore (\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b})^2\geqslant(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2$，$\therefore 9+4x^2+12\cos\theta x\geq9+4+12\cos\theta$，整理得 $x^2+3\cos\theta x-3\cos\theta-1\geq0, \therefore \Delta=9\cos^2\theta+12\cos\theta+4=(3\cos\theta+2)^2\leqslant0, \therefore 3\cos\theta+2=0, \cos\theta=-\dfrac{2}{3}$，且 $0\leqslant\theta\leqslant\pi$，$\therefore \sin\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}, \therefore \tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$．
题目
答案
解析
备注
