在 $\triangle AOB$ 中，$C,D$ 分别是 $OA,OB$ 边上的点，将 $\triangle OCD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转到 $\triangle OC'D'$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
如图 1，若 $\angle AOB=90^\circ $，$OA=OB$，$C,D$ 分别为 $OA,OB$ 的中点，证明：
（i）$AC'=BD'$，
（ii）$AC'\perp BD'$；标注答案略解析（i）因为 $\triangle OCD$ 旋转到 $\triangle OC'D'$，
所以 $OC=OC'$，$OD=OD'$，$\angle AOC'=\angle BOD'$．
因为 $OA=OB$，$C,D$ 为 $OA,OB$ 的中点，
所以 $OC=OD$，
所以 $OC'=OD'$．
在 $\triangle AOC'$ 和 $\triangle BOD'$ 中，
$\begin{cases}OA=OB,\\ \angle AOC'=\angle BOD',\\OC'=OD' ,\end{cases}$
所以 $\triangle AOC'\cong \triangle BOD'$（${\mathrm {SAS}}$），
所以 $AC'=BD'$；
（ii）延长 $AC'$ 交 $BD'$ 于 $E$，交 $BO$ 于 $F$，如图 所示：
因为 $\triangle AOC'\cong \triangle BOD'$，
所以 $\angle OAC'=\angle OBD'$，
又 $\angle AFO=\angle BFE$，$\angle OAC'+\angle AFO=90^\circ $，
所以 $\angle OBD'+\angle BFE=90^\circ $，
所以 $\angle BEA=90^\circ $，
所以 $AC'\perp BD'$． -
如图 2，若 $\triangle AOB$ 为任意三角形且 $\angle AOB=\theta$，$CD\parallel AB$，$AC'$ 与 $BD'$ 交于点 $E$，猜想 $\angle AEB=\theta$ 是否成立？请说明理由．标注答案$\angle AEB=\theta$ 成立解析因为 $\triangle OCD$ 旋转到 $\triangle OC'D'$，
所以 $OC=OC'$，$OD=OD'$，$\angle AOC'=\angle BOD'$．
因为 $CD\parallel AB$，
所以 $\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB} $，
所以 $\dfrac{OC'}{OA}=\dfrac{OD'}{OB}$，
所以 $\dfrac{OC'}{OD'}=\dfrac{OA}{OB} $．
又 $\angle AOC'=\angle BOD'$，
所以 $\triangle AOC'\backsim \triangle BOD'$，
所以 $\angle OAC'=\angle OBD'$．
因为 $\angle AFO=\angle BFE$，
所以 $\angle AEB=\angle AOB=\theta$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
