已知实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+2y^2+3z^2=4,$ 若 $T=xy+yz,$ 则 $T$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} 4&=x^2+2y^2+3z^2\\
&=x^2+\lambda y^2 +(2-\lambda)y^2+3z^2\\
&\geqslant 2\sqrt{\lambda}|xy|+2\sqrt{3(2-\lambda)}|yz|,\end{split}\]令\[2\sqrt{\lambda}=2\sqrt{3(2-\lambda)},\]解得\[\lambda=\dfrac 32,\]于是可得\[4\geqslant \sqrt 6\left(|xy|+|yz|\right).\]因此当 $x,y,z$ 同号时，$T$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 6}3$；当 $x,z$ 同号且与 $y$ 异号时，$T$ 取得最小值 $-\dfrac{2\sqrt 6}3$．结合连续性可知 $T$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$．
&=x^2+\lambda y^2 +(2-\lambda)y^2+3z^2\\
&\geqslant 2\sqrt{\lambda}|xy|+2\sqrt{3(2-\lambda)}|yz|,\end{split}\]令\[2\sqrt{\lambda}=2\sqrt{3(2-\lambda)},\]解得\[\lambda=\dfrac 32,\]于是可得\[4\geqslant \sqrt 6\left(|xy|+|yz|\right).\]因此当 $x,y,z$ 同号时，$T$ 取得最大值 $\dfrac{2\sqrt 6}3$；当 $x,z$ 同号且与 $y$ 异号时，$T$ 取得最小值 $-\dfrac{2\sqrt 6}3$．结合连续性可知 $T$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{2\sqrt6}3,\dfrac{2\sqrt6}3\right]$．
题目
答案
解析
备注
