已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac{\sqrt 6}{3}$，过点 $A(0,-b)$ 和 $B(a,0)$ 的直线与原点的距离为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$解析直线 $AB$ 的方程为$$bx-ay-ab=0,$$依题意得$$\begin{cases}\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 6}{3},\\ \dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{\sqrt 3}{2},\end{cases}$$解得 $a=\sqrt 3$，$b=1$，所以椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1.$$
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已知定点 $E(-1,0)$，直线 $y=kx+t$ 与椭圆交于 $C,D$ 两点．证明：对任意的 $t>0$，都存在 $k$，使得以线段 $CD$ 为直径的圆过 $E$ 点．标注答案略解析将 $y=kx+t$ 代入椭圆方程，得$$(1+3k^2)x^2+6ktx+3t^2-3=0,$$由直线与椭圆有两个交点，所以$$\Delta =(6kt)^2-12(1+3k^2)(t^2-1)>0,$$即$$k^2>\dfrac{t^2-1}{3}\cdots {\text{ ① }}$$设 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=-\dfrac{6kt}{1+3k^2},x_1x_2=\dfrac{3(t^2-1)}{1+3k^2}.\cdots {\text{ ② }}$$因为以 $CD$ 为直径的圆过 $E$ 点，所以 $\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{ED}=0$，即$$(x_1+1)(x_2+1)+y_1y_2=0,$$而\[\begin{split}y_1y_2&=(kx_1+t)(kx_2+t)\\&=k^2x_1x_2+tk(x_1+x_2)+t^2,\end{split}\]所以$$(k^2+1)x_1x_2+(tk+1)(x_1+x_2)+t^2+1=0,$$将 ② 代入上式得$$(k^2+1)\dfrac{3(t^2-1)}{1+3k^2}-(tk+1)\dfrac{6kt}{1+3k^2}+t^2+1=0.$$解得 $k=\dfrac{2t^2-1}{3t}$，从而 $k^2=\dfrac{4t^4-4t^2+1}{9t^2}$，所以$$\dfrac{4t^4-4t^2+1}{9t^2}-\dfrac{t^2-1}{3}=\dfrac{4(t^2-1)^2+t^2}{9t^2}>0,$$即 $k=\dfrac{2t^2-1}{3t}$ 满足 ①，所以对任意的 $t>0$，都存在 $k$，使得以线段 $CD$ 为直径的圆过 $E$ 点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
