若 $a,b,c\in (0,+\infty)$，求证：$$\dfrac{b+c}{2a}+\dfrac{c+a}{2b}+\dfrac{a+b}{2c}\geqslant \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}.$$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$(b+c)^2=b^2+c^2+2bc\geqslant 4bc,$$所以$$\dfrac{b+c}{bc}\geqslant \dfrac 4{b+c},$$即$$\dfrac 1b +\dfrac 1c \geqslant \dfrac 4{b+c}.$$又因为 $a>0$，所以$$\dfrac ab +\dfrac ac \geqslant \dfrac{4a}{b+c},$$同理得\[\begin{split}&\dfrac bc +\dfrac ba \geqslant \dfrac{4b}{c+a},\\ &\dfrac ca +\dfrac cb \geqslant \dfrac{4c}{a+b},\end{split}\]以上三式相加得$$\dfrac{b+c}{2a}+\dfrac{c+a}{2b}+\dfrac{a+b}{2c}\geqslant \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}.$$
答案
解析
备注
