在 $\triangle ABC$ 中，若 $\left|\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right|=4$，$2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=5$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
由向量的换底公式，有\[2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(-\overrightarrow{AB}\right)+\left(-\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=5,\]也即\[AB^2+AC^2=5,\]又根据\[\left|\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right|=4\]可得\[AB^2+4AC^2-4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16.\]设 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，则\[\begin{cases} b^2+c^2=5,\\ 4b^2+c^2-4bc\cos A=16,\end{cases}\]于是 $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12bc\sin A\\
&=\dfrac 12bc\sqrt{1-\cos^2A}\\
&=\dfrac 12\sqrt{b^2c^2-\left(b^2+\dfrac 14c^2-4\right)^2}\\
&=\dfrac 12\sqrt{b^2(5-b^2)-\left(\dfrac 34b^2-\dfrac{11}4\right)^2}\\
&=\dfrac 18\sqrt{-25b^4+146b^2-121}\\
&\leqslant \dfrac 18\cdot \sqrt{\dfrac{2304}{25}}=\dfrac 65,\end{split}\]等号当 $b=\dfrac{\sqrt{73}}5$ 时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac 65$．
&=\dfrac 12bc\sqrt{1-\cos^2A}\\
&=\dfrac 12\sqrt{b^2c^2-\left(b^2+\dfrac 14c^2-4\right)^2}\\
&=\dfrac 12\sqrt{b^2(5-b^2)-\left(\dfrac 34b^2-\dfrac{11}4\right)^2}\\
&=\dfrac 18\sqrt{-25b^4+146b^2-121}\\
&\leqslant \dfrac 18\cdot \sqrt{\dfrac{2304}{25}}=\dfrac 65,\end{split}\]等号当 $b=\dfrac{\sqrt{73}}5$ 时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac 65$．
题目
答案
解析
备注
