如图所示，在 $\triangle{ABC}$ 中，$AB=AC$，有一个圆内切于 $\triangle{ABC}$ 的外接圆，且与 $AB,AC$ 分别相切于 $P,Q$，求证：线段 $PQ$ 的中点 $O$ 是 $\triangle{ABC}$ 的内心．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设小圆圆心为 $O_1$，$\odot O_1$ 与 $\triangle{ABC}$ 的外接圆切于 $D$．
连结 $AO_1$，显然 $AO_1\perp PQ$，且 $\triangle{ABC}$ 为等腰三角形，所以 $AO_1$ 过 $\triangle{ABC}$ 的外接圆，$D$ 在 $AO_1$ 的延长线上，从而 $O$ 为 $\triangle{ABC}$ 的顶角 $\angle{BAC}$ 的平分线上的点，下面只需要证 $OB$ 平分 $\angle{ABC}$．
为此，连结 $OB,PD,QD$，由对称性易知，$OD$ 平分 $\angle{PDQ}$，而 $\angle{APQ}=\angle{PDQ}$，$PQ\parallel BC$，故$$\angle{APQ=\angle{ABC}},\angle{PDQ}=\angle{ABC},$$由 $P,B,D,Q$ 四点共圆得$$\angle{PBO}=\angle{PDO}=\dfrac 12 \angle{PDQ},$$所以 $\angle{PBO}=\dfrac 12 \angle{ABC}$，于是 $O$ 为 $\triangle{ABC}$ 的内心．
连结 $AO_1$，显然 $AO_1\perp PQ$，且 $\triangle{ABC}$ 为等腰三角形，所以 $AO_1$ 过 $\triangle{ABC}$ 的外接圆，$D$ 在 $AO_1$ 的延长线上，从而 $O$ 为 $\triangle{ABC}$ 的顶角 $\angle{BAC}$ 的平分线上的点，下面只需要证 $OB$ 平分 $\angle{ABC}$．
为此，连结 $OB,PD,QD$，由对称性易知，$OD$ 平分 $\angle{PDQ}$，而 $\angle{APQ}=\angle{PDQ}$，$PQ\parallel BC$，故$$\angle{APQ=\angle{ABC}},\angle{PDQ}=\angle{ABC},$$由 $P,B,D,Q$ 四点共圆得$$\angle{PBO}=\angle{PDO}=\dfrac 12 \angle{PDQ},$$所以 $\angle{PBO}=\dfrac 12 \angle{ABC}$，于是 $O$ 为 $\triangle{ABC}$ 的内心．
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解析
备注
