如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，一个以点 $A$ 为顶点的 $45^\circ$ 角绕点 $A$ 旋转，角的两边分别与边 $BC,DC$ 的延长线交于点 $E,F$，连接 $EF$．设 $CE=a$，$CF=b$，求 $\angle EAF$ 绕点 $A$ 旋转的过程中，$a,b$ 满足的关系式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ab=32$
【解析】
连接 $AC$，则 $AC=4\sqrt 2$．
因为 $\angle ACB=\angle ACD=45^\circ$，
所以 $\angle CAE+\angle AEC=\angle CAF+\angle AFC=45^\circ$．
而 $\angle CAE+\angle CAF=\angle EAF=45^\circ$，
所以 $\angle CAE=\angle CFA$，$\angle CEA=\angle CAF$，
所以 $\triangle ACE\sim \triangle FCA$，
从而 $ab=CE\cdot CF=AC^2=32$．
因为 $\angle ACB=\angle ACD=45^\circ$，所以 $\angle CAE+\angle AEC=\angle CAF+\angle AFC=45^\circ$．
而 $\angle CAE+\angle CAF=\angle EAF=45^\circ$，
所以 $\angle CAE=\angle CFA$，$\angle CEA=\angle CAF$，
所以 $\triangle ACE\sim \triangle FCA$，
从而 $ab=CE\cdot CF=AC^2=32$．
答案
解析
备注
