已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，一个以点 $A$ 为顶点的 $45^\circ $ 角绕点 $A$ 旋转，角的两边分别与边 $BC$，$DC$ 的延长线交于点 $E$，$F$，连接 $EF$．设 $CE=a$，$CF=b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
如图1，当 $\angle EAF$ 被对角线 $AC$ 平分时，求 $a,b$ 的值；标注答案$a=b=4\sqrt 2$解析因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $\angle BCF=\angle DCE=90^\circ$．
因为 $AC$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线，
所以 $\angle ACB=\angle ACD=45^\circ $，
所以 $\angle ACF=\angle ACE$．
因为 $\angle EAF$ 被对角线 $AC$ 平分，
所以 $\angle CAF=\angle CAE$，
在 $\triangle ACF$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$\begin{cases}\angle ACF=\angle ACE,\\AC=AC,\\\angle CAF=\angle CAE,\end{cases}$
所以 $\triangle ACF\cong \triangle ACE$，
所以 $CE=CF$．
因为 $CE=a$，$CF=b$，
所以 $a=b$．
因为 $\angle EAF=\angle DAC=45^\circ$，
所以 $\angle CAE=\angle DAE=\angle AEC=22.5^\circ$，
所以 $CE=CF=AC=4\sqrt 2$． -
当 $\triangle AEF$ 是直角三角形时，求 $a,b$ 的值；标注答案当 $\angle AEF=90^\circ $ 时，$a=4$，$b=8$；
当 $\angle AFE=90^\circ $ 时，$a=8$，$b=4$解析① 当 $\angle AEF=90^\circ $ 时，
因为 $\angle EAF=45^\circ $，
所以 $\angle AFE=45^\circ $，
所以 $\triangle AEF$ 是等腰直角三角形，
所以 $AF^2=2FE^2=2\left(CE^2+CF^2\right)$，
$AF^2=2\left(AD^2+BE^2\right)$，
所以 $2\left(CE^2+CF^2\right)=2\left(AD^2+BE^2\right)$，
所以 $CE^2+CF^2=AD^2+BE^2$，
所以 $CE^2+CF^2=16+\left(4+CE\right)^2$，
所以 $CF^2=8\left(CE+4\right)\quad \cdots \cdots ① $．
因为 $\angle AEB+\angle BEF=90^\circ $，$\angle AEB+\angle BAE=90^\circ $，
所以 $\angle BEF=\angle BAE$，
所以 $\triangle ABE\backsim \triangle ECF$，
所以 $\dfrac {AB} {CE} =\dfrac {BE} {CF} $，
所以 $\dfrac 4 {CE} =\dfrac {CE+4} {CF} $，
所以 $4CF=CE\left(CE+4\right)\quad \cdots \cdots ② $．
联立 ①② 得，$CE=4$，$CF=8$
所以 $a=4$，$b=8$．
② 当 $\angle AFE=90^\circ $ 时，
同 ① 的方法得，$CF=4$，$CE=8$，
所以 $a=8$，$b=4$． -
如图3，探索 $\angle EAF$ 绕点 $A$ 旋转的过程中 $a,b$ 满足的关系式，并说明理由．标注答案$ab=32$解析因为 $\angle BAG+\angle AGB=90^\circ $，$\angle AFC+\angle CGF=90^\circ $，$\angle AGB=\angle CGF$，
所以 $\angle BAG=\angle AFC$，
因为 $\angle BAC=45^\circ $，
所以 $\angle BAG+\angle CAF=45^\circ $，
所以 $\angle AFC+\angle CAF=45^\circ $，
因为 $\angle AFC+\angle AEC=180^\circ -\left(\angle CFE+\angle CEF\right)-\angle EAF=180^\circ -90^\circ -45^\circ =45^\circ $，
所以 $\angle CAF=\angle AEC$，
因为 $\angle ACF=\angle ACE=135^\circ $，
所以 $\triangle ACF\backsim \triangle ECA$，
所以 $\dfrac {AC} {EC} =\dfrac {CF} {AC} $，
所以 $EC\times CF=AC^2=2AB^2=32$，
所以 $ab=32$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
