如图，正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，点 $M$，$N$ 分别是边 $BC$，$CD$ 上的动点（不与点 $B$，$C$，$D$ 重合），$AM$，$AN$ 分别交 $BD$ 于点 $E$，$F$，且 $\angle MAN$ 始终保持 $45^\circ $ 不变．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$\dfrac{AF}{AM }=\dfrac{\sqrt{2}}{2 }$；标注答案略解析因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $\angle ABD=\angle CBD=45^\circ$，$\angle ABC=90^\circ$．
因为 $\angle MAN=45^\circ$，
所以 $\angle MAF=\angle MBE$，
所以 $A,B,M,F$ 四点共圆．
所以 $\angle ABM+\angle AFM=180^\circ $，
所以 $\angle AFM=90^\circ $，
所以 $\angle FAM=\angle FMA=45^\circ $，
所以 $AM=\sqrt{2}AF$，
所以 $\dfrac{AF}{AM }=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$． -
求证：$AF\perp FM$；标注答案略解析由第1问可知 $\angle AFM=90^\circ $，
$\therefore AF\perp FM$． -
请探索：在 $\angle MAN$ 的旋转过程中，当 $\angle BAM$ 等于多少度时，$\angle FMN=\angle BAM$？写出你的探索结论，并加以证明．标注答案当 $\angle BAM=22.5^{\circ}$ 时，$\angle FMN=\angle BAM$解析因为 $A,B,M,F$ 四点共圆，
所以 $\angle BAM=\angle EFM$，
因为 $\angle BAM=\angle FMN$，
所以 $\angle EFM=\angle FMN$，
所以 $MN\parallel BD$，
所以 $\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CN}{CD}$，
因为 $CB=DC$，
所以 $CM=CN$，
所以 $MB=DN$，
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ADN$ 中，
$\begin{cases}AB=AD,\\\angle ABM=\angle ADN=90^\circ ,\\BM=DN,\end{cases}$
所以 $\triangle ABM\cong \triangle ADN$，
所以 $\angle BAM=\angle DAN$，
因为 $\angle MAN=45^\circ $，
所以 $\angle BAM+\angle DAN=45^\circ $，
所以 $\angle BAM=22.5^\circ$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
