如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$DE\perp BC$ 于点 $E$，且 $DE=BC$，点 $F$ 在边 $AC$ 上，连接 $BF$ 交 $DE$ 于点 $G$，若 $\angle DBF=45^\circ$，$DG=\dfrac {27}{5}$，$BE=3$，求 $CF$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$CF=\dfrac{12}5$
【解析】
如图，将 $DE$ 向左平移至 $BH$，连接 $HD$ 并延长交 $AC$ 于点 $I$，
则四边形 $HBCI$ 为正方形，且 $DH=BE=3$．
将 $\triangle BHD$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 至 $\triangle BCJ$，连接 $DF$．
显然点 $J$ 在 $AC$ 的延长线上，
易证 $\triangle DBF\cong \triangle JBF$，
所以 $DF=JF=DH+CF$，$\angle DFB=\angle JFB=\angle DGF$，
所以 $DF=DG$，
从而 $CF=DG-DH=\dfrac{12}5$．
则四边形 $HBCI$ 为正方形，且 $DH=BE=3$．
将 $\triangle BHD$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 至 $\triangle BCJ$，连接 $DF$．
显然点 $J$ 在 $AC$ 的延长线上，易证 $\triangle DBF\cong \triangle JBF$，
所以 $DF=JF=DH+CF$，$\angle DFB=\angle JFB=\angle DGF$，
所以 $DF=DG$，
从而 $CF=DG-DH=\dfrac{12}5$．
答案
解析
备注
