题目 设 $a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n-1$，$n \in \mathbb N^*$．证明： 问题1 对所有的 $n$，$a_n \equiv 3(\mod 4)$； 答案1 略 解析1 由递推关系得$$a_{n+1}+1=a_n(a_n+1).$$当 $n=1$ 时，$$a_1=3 \equiv 3(\mod 4).$$假设 $a_n\equiv 3(\mod 4)$，即 $a_n=4k+3$，那么\[\begin{split}a_{n+1}&=a_n(a_n+1)-1\\ &=4(4k+3)(k+1)-1\\& \equiv 3(\mod 4).\end{split}\]因此对所有 $n$，$a_n \equiv 3(\mod 4)$． 备注1 问题2 当 $m \neq n$ 时，$(a_m,a_n)=1$（$a_m$，$a_n$ 互质）． 答案2 略 解析2 由递推关系得$$a_{n+1}+1=4a_na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1.$$不妨设 $m<n$，易得$$a_m |a_n+1,$$所以可设 $a_n+1=qa_m$，$q\in \mathbb N^*$，则$$(a_m,a_n)=(a_m,qa_m-1)=(a_m,a_m-1)=1.$$ 备注2