如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC=BC$，点 $E$ 为 $\triangle ABC$ 外一点，满足 $AB=AE$，$\angle ACB+\angle BAE=120^\circ$，求 $\angle AEC$ 的度数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\angle AEC=30^\circ$
【解析】
如图，以 $AB$ 为边作等边 $\triangle ABK$，连接 $KC$．
因为 $AC=BC$，
由轴对称的性质可得 $\angle AKC=\dfrac 12\angle AKB=30^\circ$．
设 $\angle BAE=\alpha$，则 $\angle ACB=120^\circ-\alpha$，
所以 $\angle BAC=\angle ABC=30^\circ+\dfrac 12\alpha$，
从而 $\angle KAC=30^\circ-\dfrac 12\alpha=\angle EAC$．
因此 $\triangle KAC\cong \triangle EAC$，
所以 $\angle AEC=\angle AKC=30^\circ$．
因为 $AC=BC$，由轴对称的性质可得 $\angle AKC=\dfrac 12\angle AKB=30^\circ$．
设 $\angle BAE=\alpha$，则 $\angle ACB=120^\circ-\alpha$，
所以 $\angle BAC=\angle ABC=30^\circ+\dfrac 12\alpha$，
从而 $\angle KAC=30^\circ-\dfrac 12\alpha=\angle EAC$．
因此 $\triangle KAC\cong \triangle EAC$，
所以 $\angle AEC=\angle AKC=30^\circ$．
答案
解析
备注
