设 $9$ 个实数 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ 满足$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=b_1^2+b_2^2+b_3^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2=1,$$且$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3=b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3=0,$$则等式 $a_1^2+b_1^2+c_1^2=1$，$a_2^2+b_2^2+c_2^2=1$，$a_3^2+b_3^2+c_3^2=1$ 中一定成立的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，设\[\begin{split} \overrightarrow x&=(a_1,a_2,a_3),\\
\overrightarrow y&=(b_1,b_2,b_3),\\
\overrightarrow z&=(c_1,c_2,c_3),\end{split}\]则 $\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z$ 是互相垂直的单位向量．因此任意单位向量与这 $3$ 个向量的数量积的平方和均为 $1$，分别取 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(0,0,1)$ 即得题中 $3$ 个等式均成立．
\overrightarrow y&=(b_1,b_2,b_3),\\
\overrightarrow z&=(c_1,c_2,c_3),\end{split}\]则 $\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z$ 是互相垂直的单位向量．因此任意单位向量与这 $3$ 个向量的数量积的平方和均为 $1$，分别取 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(0,0,1)$ 即得题中 $3$ 个等式均成立．
题目
答案
解析
备注
