设 $\triangle {ABC}$ 的外心、内心分别为 $O$，$I$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 内的旁心分别为 $I_1$，$I_2$，$I_3$，证明：
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
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$\triangle {I_1I_2I_3}$ 为锐角三角形；标注答案略解析因为$$\angle I_3I_1I_2=90^{\circ}-\dfrac {\angle A}{2}<90^{\circ},$$所以 $\angle I_3I_1I_2$ 为锐角．
同理可得 $\angle I_1I_2I_3$，$\angle I_2I_3I_1$ 也为锐角，因此 $\triangle I_1I_2I_3 $ 为锐角三角形． -
若 $\triangle {I_1I_2I_3}$ 的外心为 $O'$，则 $O'$、$O$、$I$ 三点共线．标注答案略解析设 $AI_1$，$BI_2$，$CI_3$ 分别与圆 $O$ 相交于点 $D$，$E$，$F$，则 $D$，$E$，$F$ 分别为 $II_1$，$II_2$，$II_3$ 的中点，所以 $I$ 为 $\triangle DEF $ 与 $\triangle I_1I_2I_3 $ 的位似中心，且位似比为 $2$．
又因为 $\triangle DEF $ 的外心就是 $\triangle ABC$ 的外心，因此 $O'$，$O$，$I$ 三点共线，且 $O$ 为 $IO'$ 的中点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
