求和：
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
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$7+77+777+\cdots+\underbrace{777\cdots 7}_{n\text{个}7}$；标注答案$\dfrac{7}{{81}} \cdot {10^{n + 1}} - \dfrac{7}{9}n - \dfrac{{70}}{{81}}.$解析因为$$\underbrace{777\cdots 7}_{n\text{个}7}=\dfrac{7}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right),$$所以\[\begin{split}&7+77+777+\cdots+\underbrace{777\cdots 7}_{n\text{个}7}\\ =& \dfrac{7}{9}\left( {10 - 1} \right) + \dfrac{7}{9}\left( {{{10}^2} - 1} \right) + \cdots + \dfrac{7}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right)\\ =& \dfrac{7}{{81}} \cdot {10^{n + 1}} - \dfrac{7}{9}n - \dfrac{{70}}{{81}}.\end{split}\]
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$2005+20052005+200520052005+\cdots+\underbrace{2005\cdots20052005}_{n\text{个}2005}$．标注答案$ \dfrac{{20050000}}{{{{9999}^2}}} \cdot \left( {{{10}^{4n}} - 1} \right) - \dfrac{{2005}}{{9999}}n$解析因为\[\begin{split}& \underbrace{2005\cdots20052005}_{n\text{个}2005}\\=& 2005[10^{4(n-1)}+10^{4(n-2)}+\cdots+10^4+1] \\=& \dfrac{{2005}}{{9999}} \cdot \left( {{{10}^{4n}}-1} \right).\end{split}\]所以\[\begin{split}& 2005+20052005+200520052005+\cdots+\underbrace{2005\cdots20052005}_{n\text{个}2005}\\=& \dfrac{{20050000}}{{{{9999}^2}}} \cdot \left( {{{10}^{4n}} - 1} \right) - \dfrac{{2005}}{{9999}}n.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
