求使 $\left| {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 2x + 2}}} \right| < 1$ 恒成立的实数 $a,b$ 所满足的条件．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
$a = 2$ 且 $0 < b < 2$
【解析】
根据题意，有$$\forall x\in\mathbb R,\left| {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 2x + 2}}} \right| < 1,$$即\[\forall x\in\mathbb R,
- 1 < \dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 2x + 2}} < 1,\]也即\[\forall x\in\mathbb R,
- {x^2} - 2x - 2 < {x^2} + ax + b < {x^2} + 2x + 2,\]整理，得\[\forall x\in\mathbb R,\begin{cases}
2{x^2} + \left( {a + 2} \right)x + b + 2 > 0 ,\\
\left( {a - 2} \right)x + b - 2 < 0 .\\
\end{cases}\]欲使上式恒成立，则$$\begin{cases}
{\left( {a + 2} \right)^2} - 8\left( {b + 2} \right) < 0 ,\\
a = 2\land b<2,\\
\end{cases} $$于是 $a = 2$ 且 $0 < b < 2$．
- 1 < \dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 2x + 2}} < 1,\]也即\[\forall x\in\mathbb R,
- {x^2} - 2x - 2 < {x^2} + ax + b < {x^2} + 2x + 2,\]整理，得\[\forall x\in\mathbb R,\begin{cases}
2{x^2} + \left( {a + 2} \right)x + b + 2 > 0 ,\\
\left( {a - 2} \right)x + b - 2 < 0 .\\
\end{cases}\]欲使上式恒成立，则$$\begin{cases}
{\left( {a + 2} \right)^2} - 8\left( {b + 2} \right) < 0 ,\\
a = 2\land b<2,\\
\end{cases} $$于是 $a = 2$ 且 $0 < b < 2$．
答案
解析
备注
