下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．
① ${x^2} + 1$；② ${x^2} + x + 1$；③ ${x^3} + {x^2} + x + 1$；④ ${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1$．
① ${x^2} + 1$；② ${x^2} + x + 1$；③ ${x^3} + {x^2} + x + 1$；④ ${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1$．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
① 不能；
② 不能；
③ 能，${x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({x + 1} \right)\left({{x^2} + 1} \right)$；
④ 能．${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1} \right)\left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5} x+ 1} \right)$
② 不能；
③ 能，${x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({x + 1} \right)\left({{x^2} + 1} \right)$；
④ 能．${x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1} \right)\left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5} x+ 1} \right)$
【解析】
① 不能，因为方程 ${x^2} + 1 = 0$ 在实数范围内无解；
② 不能，因为方程 ${x^2} + x + 1 $ $ = 0 $ 在实数范围内无解；
③ 能，注意到 $ x = - 1 $ 是方程 $ {x^3} + {x^2} + x + 1 = 0 $ 的解，所以\[ {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({x + 1} \right)\left({{x^2} + 1} \right).\]而 $ {x^2} + 1 $ 无法继续分解；
④ 能，注意到 $ x \ne 1$ 时，$$ {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \dfrac{{1 - {x^5}}}{{1 - x}},$$而 ${x^5} = 1$ 没有不为 $1$ 的实数解，于是原式没有一次因式．
不妨设$$ \omega = \cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5} + {\mathrm{i}}\sin \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5},$$则 ${x^5} = 1$ 的复数根为 $1,\omega ,{\omega ^2},{\omega ^3},{\omega ^4}$．
注意到 $\omega $ 与 ${\omega ^4}$ 共轭，${\omega ^2}$ 与 ${\omega ^3}$ 共轭，有\[\begin{split} \left({x - \omega } \right)\left({x - {\omega ^4}} \right)= {x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1,\\ \left({x - {\omega ^2}} \right)\left({x - {\omega ^3}} \right)= {x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1,\end{split}\]于是\[ {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1} \right)\left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5} x+ 1} \right).\]
② 不能，因为方程 ${x^2} + x + 1 $ $ = 0 $ 在实数范围内无解；
③ 能，注意到 $ x = - 1 $ 是方程 $ {x^3} + {x^2} + x + 1 = 0 $ 的解，所以\[ {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({x + 1} \right)\left({{x^2} + 1} \right).\]而 $ {x^2} + 1 $ 无法继续分解；
④ 能，注意到 $ x \ne 1$ 时，$$ {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \dfrac{{1 - {x^5}}}{{1 - x}},$$而 ${x^5} = 1$ 没有不为 $1$ 的实数解，于是原式没有一次因式．
不妨设$$ \omega = \cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5} + {\mathrm{i}}\sin \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5},$$则 ${x^5} = 1$ 的复数根为 $1,\omega ,{\omega ^2},{\omega ^3},{\omega ^4}$．
注意到 $\omega $ 与 ${\omega ^4}$ 共轭，${\omega ^2}$ 与 ${\omega ^3}$ 共轭，有\[\begin{split} \left({x - \omega } \right)\left({x - {\omega ^4}} \right)= {x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1,\\ \left({x - {\omega ^2}} \right)\left({x - {\omega ^3}} \right)= {x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1,\end{split}\]于是\[ {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 = \left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{5}x + 1} \right)\left({{x^2} - 2\cos \dfrac{{4{\mathrm{\pi }}}}{5} x+ 1} \right).\]
答案
解析
备注
