解三角方程：$a\sin \left( {x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right) = \sin 2x + 9$，其中 $a$ 为一实常数．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
当 $a \leqslant - 10$ 时，解为$$ x = 2k{\mathrm{\pi }}+\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\pm\left(\dfrac {\pi}2-\arcsin {\dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - 64} }}{4}}\right);$$当 $a \in \left( { - 10,10} \right)$ 时，无解；
当 $a \geqslant 10$ 时，解为$$ x = 2k{\mathrm{\pi }}+\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\pm\left(\dfrac {\pi}2-\arcsin {\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 64} }}{4}}\right).$$
当 $a \geqslant 10$ 时，解为$$ x = 2k{\mathrm{\pi }}+\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\pm\left(\dfrac {\pi}2-\arcsin {\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 64} }}{4}}\right).$$
【解析】
因为\[\sin 2x = 2{\sin ^2}\left( {x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right) - 1,\]所以设$$\sin \left( {x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}} \right) = t,t \in \left[ { - 1,1} \right],$$则原方程变为$$at = 2{t^2} + 8,$$即$$a = 2t + \dfrac{8}{t}.$$由求根公式，记$${t_1} = \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - 64} }}{4},{t_2} = \dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 64} }}{4}.$$$a$ 作为 $t$ 的函数，图象如下，
情形一 当 $a \leqslant - 10$ 时，解为 $t = $ ${t_1}$，
于是$$ x = \arcsin {t_1} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }}$$或$$x = {\mathrm{\pi }} - \arcsin {t_1} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }},$$即$$ x = 2k{\mathrm{\pi }} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + \arcsin {t_1}$$或$$x = 2k{\mathrm{\pi }} + \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} - \arcsin {t_1}.$$情形二 当 $a \in \left( { - 10,10} \right)$ 时，无解．
情形三 当 $a \geqslant 10$ 时，解为 $t = {t_2}$，
于是解为$$ x = \arcsin {t_2} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }}\lor x = {\mathrm{\pi }} - \arcsin {t_2} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }},$$即$$ x = 2k{\mathrm{\pi }} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + \arcsin {t_2}\lor x = 2k{\mathrm{\pi }} + \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} - \arcsin {t_2}.$$
于是$$ x = \arcsin {t_1} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }}$$或$$x = {\mathrm{\pi }} - \arcsin {t_1} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }},$$即$$ x = 2k{\mathrm{\pi }} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + \arcsin {t_1}$$或$$x = 2k{\mathrm{\pi }} + \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} - \arcsin {t_1}.$$
于是解为$$ x = \arcsin {t_2} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }}\lor x = {\mathrm{\pi }} - \arcsin {t_2} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + 2k{\mathrm{\pi }},$$即$$ x = 2k{\mathrm{\pi }} - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4} + \arcsin {t_2}\lor x = 2k{\mathrm{\pi }} + \dfrac{{3{\mathrm{\pi }}}}{4} - \arcsin {t_2}.$$
答案
解析
备注
