$x,y$ 为实数，且 $x+y=1$，求证：对于任意正整数 $n$，${{x}^{2n}}+{{y}^{2n}}\geqslant \dfrac{1}{{{2}^{2n-1}}}$；
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
【答案】
略
【解析】
要证 ${{x}^{2n}}+{{y}^{2n}}\geqslant \dfrac{1}{{{2}^{2n-1}}}$ 只需证$${{\left( 2x \right)}^{2n}}+{{\left( 2y \right)}^{2n}}\geqslant 2,$$因为 $2x+2y=2$，故可设 $2x=1+p$，$2y=1-p$，
于是只需要证明$${{\left( 1+p \right)}^{2n}}+{{\left( 1-p \right)}^{2n}}\geqslant 2,$$根据二项式定理，命题得证．
于是只需要证明$${{\left( 1+p \right)}^{2n}}+{{\left( 1-p \right)}^{2n}}\geqslant 2,$$根据二项式定理，命题得证．
答案
解析
备注
