已知 $\triangle ABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图1所示，$A$ 点坐标为 $\left(-6,0\right)$，$B$ 点坐标为 $\left(4,0\right)$，点 $D$ 为 $BC$ 的中点，点 $E$ 为线段 $AB$ 上一动点，连接 $DE$，经过 $A,B,C$ 三点的抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+8$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
如图1，将 $\triangle BDE$ 以 $DE$ 为轴翻折，点 $B$ 的对应点为点 $G$，当点 $G$ 恰好落在抛物线的对称轴上时，求 $G$ 点坐标；标注答案$\left(-1,4+\sqrt{11}\right)$ 或 $\left(-1,4-\sqrt{11}\right)$解析由抛物线解析式，可得点 $C(0,8)$．
而点 $D$ 为 $BC$ 的中点，所以点 $D(2,4)$．
所以 $BD^2=(2-4)^2+(4-0)^2=20$．
由翻折可知 $GD^2=BD^2=20$．
由抛物线的轴对称性以及 $A(-6,0),B(4,0)$ 两点坐标，
可得其对称轴为直线 $x=-1$，
所以可设 $G$ 点坐标为 $\left(-1,n\right)$，
从而 $GD^2=(2+1)^2+(4-n)^2=20$，
解得 $n=4\pm \sqrt{11}$，
所以点 $G$ 的坐标为 $\left(-1,4+\sqrt{11}\right)$ 或 $\left(-1,4-\sqrt{11}\right)$． -
如图2，当点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动时，抛物线 $y=ax^2+bx+8$ 的对称轴上是否存在点 $F$，使得以 $C,D,E,F$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$\left(-1,4\right)$，$\left(-1,-4\right)$ 或 $\left(-1,12\right)$解析由第1问可得点 $C(0,8)$，点 $D(2,4)$．
设点 $E(m,0)$，点 $F(-1,n)$．
以 $C,D,E,F$ 为顶点的四边形为平行四边形可分为以下几种情况：
① 如图，当 $CD\parallel EF$，$CF\parallel DE$ 时．
由平行四边形对角线互相平方可列方程组 $\begin{cases}m+0=-1+2,\\ 0+8=n+4,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=1,\\n=4.\end{cases}$
此时点 $E(1,0)$，点 $F(-1,4)$；
② 如图，当 $CD\parallel EF$，$CE\parallel DF$ 时．
由平行四边形对角线互相平方可列方程组 $\begin{cases}0-1=2+m,\\ 8+n=4+0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=-3,\\ n=-4.\end{cases}$
此时点 $E(-3,0)$，点 $F(-1,-4)$；
③ 如图，当 $CF\parallel DE$，$CE\parallel DF$ 时．
由平行四边形对角线互相平方可列方程组 $\begin{cases}0+2=m-1,\\ 8+4=0+n,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=3,\\ n=12.\end{cases}$
此时点 $E(3,0)$，点 $F(-1,12)$．
综上可得，存在满足条件的点 $F$，其坐标为 $\left(-1,4\right)$，$\left(-1,-4\right)$ 或 $\left(-1,12\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
