已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1,a_2+1,a_3$ 成等差数列，且对任意的正整数 $n$，均有 $S_n=\dfrac12a_{n+1}-2^n+\dfrac32$ 成立，其中 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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求 $a_1,a_2,a_3$ 的值；标注答案$a_1=-1,a_2=-2,a_3=1$解析由 $a_1,a_2+1,a_3$ 成等差数列，知$$2(a_2+1)=a_1+a_3,\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由 $S_n=\dfrac12a_{n+1}-2^n+\dfrac32$，取 $n=1$，知$$a_1=\dfrac12a_2-2+\dfrac32,\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$取 $n=2$，知$$a_1+a_2=\dfrac12a_3-4+\dfrac32\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$联立 ①②③，解得 $a_1=-1,a_2=-1,a_3=1$．
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．标注答案$a_n=3^{n-1}-2^n$解析当 $n\geqslant2$ 时，由\[\begin{split}&S_n=\dfrac12a_{n+1}-2^n+\dfrac32,\\&S_{n-1}=\dfrac12a_n-2^{n-1}+\dfrac32,\end{split}\]两式相减，得$$a_n=\dfrac12a_{n+1}-\dfrac12a_n-2^{n-1},$$整理得$$a_{n+1}=3a_n+2^n,$$故$$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+2^n).$$于是，当 $n\geqslant2$ 时，有 $a_n+2^n=(a_2+2^2)\cdot3^{n-2}$，即$$a_n=3^{n-1}-2^n(n\geqslant2),$$又 $a_1=-1$ 也满足 $a_n=3^{n-1}-2^n$，故通项公式为 $a_n=3^{n-1}-2^n$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
