已知函数 $f(x)=\sin^4x$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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记 $g(x)=f(x)+f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$，求 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{3\pi}{8}\right]$ 上的最大值和最小值；标注答案$\max\{g(x)\}=\dfrac34,\min\{g(x)\}=\dfrac12$解析由题意可得$$g(x)=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cdot\cos^2x=1-\dfrac12\sin^22x.$$因为 $x\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{3\pi}{8}\right]$，所以 $2x\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{3\pi}{4}\right]$，故$$\dfrac12\leqslant1-\dfrac12\sin^22x\leqslant\dfrac34.$$因此 $g(x)$ 的最大值为 $\dfrac34$，最小值为 $\dfrac12$．
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求 $f\left(\dfrac{\pi}{180}\right)+f\left(\dfrac{2\pi}{180}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{89\pi}{180}\right)$ 的值．标注答案$\dfrac{133}{4}$解析设所求代数式为 $M$，则\[\begin{split}M&=g\left(\dfrac{\pi}{180}\right)+g\left(\dfrac{2\pi}{180}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{44\pi}{180}\right)+\sin^4\left(\dfrac{45\pi}{180}\right)\\&=44-\dfrac12\left[\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{180}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{180}\right)+\cdots+\sin^2\left(\dfrac{88\pi}{180}\right)\right]+\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^4\\&=\dfrac{133}{4}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
