对于选项 A，显然 $2\pi$ 是函数 $f(x)$ 的周期，接下来证明函数 $f(x)$ 不存在比 $2\pi$ 小的正周期．用反证法，若存在 $0<T<2\pi$，且\[\forall x\in\mathbb R,f(x+T)=f(x),\]则\[f\left(\dfrac{\pi}4\right)=f\left(\dfrac{\pi}4+T\right),\]即\[\sin(2T)\cdot \sin T=0,\]从而\[T=\dfrac{\pi}2,\pi,\dfrac{3\pi}2\]经验证，$\dfrac{\pi}2,\pi,\dfrac{3\pi}2$ 均不为函数 $f(x)$ 的周期，因此函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$．
容易验证选项 BC 正确．
函数 $f(x)$ 与函数\[f\left(x-\dfrac{\pi}4\right)=2\sin x\cdot \cos^2x\]的值域相同，而当 $x\in[0,\pi]$ 时，有\[\begin{split} 2\sin x\cdot \cos^2x&=\sqrt 2\cdot \sqrt{(2-2\cos^2x)\cdot \cos^2x\cdot \cos^2x}\\
&\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^3}\\
&=\dfrac{4\sqrt 3}9,\end{split}\]再考虑函数\[f\left(x-\dfrac{\pi}4\right)=2\sin x\cdot \cos^2x\]为奇函数，可得函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{4\sqrt 3}9,\dfrac{4\sqrt 3}9\right]$．