题目 过双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的右支上任意一点 $P(x_0,y_0)$ 作一直线 $l$ 与两条渐近线交于点 $A,B$，若 $P$ 是 $AB$ 的中点． 问题1 求证：直线 $l$ 与双曲线只有一个交点； 答案1 略 解析1 双曲线两条渐近线方程为 $y=\pm2$．<br/>当 $y_0=0$ 时，易得直线 $l$ 的方程为 $x=x_0$，此时 $l$ 与双曲线只有一个交点；<br/>当 $y_0\ne0$ 时，显然直线 $l$ 斜率存在，故可设直线 $l$ 的方程为$$y-y_0=k(x-x_0),$$与 $y=2x$ 联立，解得 $A$ 点坐标为 $\left(\dfrac{kx_0-y_0}{k-2},\dfrac{2kx_0-2y_0}{k-2}\right)$，<br/>与 $y=-2x$ 联立，解得 $B$ 点坐标为 $\left(\dfrac{kx_0-y_0}{k+2},-\dfrac{2kx_0-2y_0}{k+2}\right)$．<br/>因为 $P$ 是 $AB$ 的中点，所以$$\dfrac{kx_0-y_0}{k-2}+\dfrac{kx_0-y_0}{k+2}=2x_0,$$解得 $k=\dfrac{4x_0}{y_0}$．<br/>故直线 $l$ 的方程为$$y-y_0=\dfrac{4x_0}{y_0}(x-x_0),$$与双曲线方程联立，得$$4y_0^2x^2-[y_0^2+4x_0(x-x_0)]^2=4y_0^2.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$又因为 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线上，所以$$y_0^2=4x_0^2-4,$$故方程 ① 可化为$$-4x^2+8x_0x-4-y_0^2=0,$$于是$$\Delta=64x_0^2-16y_0^2-64=0.$$因此 $l$ 与双曲线只有一个交点． 备注1 问题2 求证：$\triangle OAB$ 的面积为定值． 答案2 略 解析2 因为$$S_{\triangle OAB}=\dfrac12|OA|\cdot|OB|\cdot\sin\angle AOB,$$由于 $\angle AOB$ 为定值，故只需证明 $|OA|\cdot|OB|$ 为定值即可．<br/>当斜率不存在时，易得 $|OA|\cdot|OB|=5$．<br/>当斜率存在时，因为\[\begin{split}&|OA|^2=\left(\dfrac{kx_0-y_0}{k-2}\right)^2+\left(\dfrac{2kx_0-2y_0}{k-2}\right)^2=\dfrac{20}{(2x_0-y_0)^2},\\&|OB|^2=\left(\dfrac{kx_0-y_0}{k+2}\right)^2+\left(-\dfrac{2kx_0-2y_0}{k+2}\right)^2=\dfrac{20}{(2x_0+y_0)^2},\end{split}\]所以$$|OA|^2\cdot|OB|^2=\dfrac{400}{(4x_0^2-y_0^2)^2}=25,$$即 $|OA|\cdot|OB|=5$ 得证． 备注2