已知 $\sin t+\cos t=1$，设 $s=\cos t+\mathrm{i}\sin t$，求 $f\left( s \right)=1+s+{{s}^{2}}+\cdots +{{s}^{n}}$．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
【答案】
当 $t=2k\pi+\dfrac{\pi}2$，$k\in\mathbb Z$ 时，有$$f\left( s \right) =\begin{cases} 0,&n\equiv 0\left( \bmod 4 \right) \\ 1,&n\equiv 1\left( \bmod 4 \right) \\ 1+\mathrm{i},&n\equiv 2\left( \bmod 4 \right) \\ \mathrm{i},&n\equiv 3\left( \bmod 4 \right) \end{cases}$$当 $t=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$ 时，$f\left( s \right)=n+1$
【解析】
根据题意，有$$\sin\left(t+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2,$$于是$$t=2k\pi+\dfrac{\pi}2\lor t=2k\pi,$$其中 $k\in\mathbb Z$．
当 $t=2k\pi+\dfrac{\pi}2$，$k\in\mathbb Z$ 时，$s={\rm i}$，有$$f\left( s \right) =\begin{cases} 0,&n\equiv 0\left( \bmod 4 \right) \\ 1,&n\equiv 1\left( \bmod 4 \right) \\ 1+\mathrm{i},&n\equiv 2\left( \bmod 4 \right) \\ \mathrm{i},&n\equiv 3\left( \bmod 4 \right) \end{cases}$$当 $t=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$ 时，$s=1$，$f\left( s \right)=n+1$．
当 $t=2k\pi+\dfrac{\pi}2$，$k\in\mathbb Z$ 时，$s={\rm i}$，有$$f\left( s \right) =\begin{cases} 0,&n\equiv 0\left( \bmod 4 \right) \\ 1,&n\equiv 1\left( \bmod 4 \right) \\ 1+\mathrm{i},&n\equiv 2\left( \bmod 4 \right) \\ \mathrm{i},&n\equiv 3\left( \bmod 4 \right) \end{cases}$$当 $t=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$ 时，$s=1$，$f\left( s \right)=n+1$．
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