一次足球赛有 $n$ 支球队参加，每支球队预订的比赛场数分别是 $m_1$，$m_2$，$m_3$，$\cdots$，$m_n$，如果任两支球队之间最多安排一场比赛，则称 $(m_1,m_2,\cdots,m_n)$ 是一个有效安排．证明：如果 $(m_1,m_2,\cdots,m_n)$ 是一个有效安排，且 $ m_1\geqslant m_2\geqslant \cdots \geqslant m_n$，则可以去掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得 $(m_2-1,m_3-1,\cdots,m_{m_1+1}-1,m_{m_1+2},\cdots,m_n)$ 也是一个有效安排．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设预定比赛 $m_i$ 场的队为 $A_i$，$i=1,2,\cdots,n$．
情形一 如果 $A_1$ 的 $m_1$ 场比赛，其对手恰好就是 $A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{m_1+1}$ 那么，直接去掉 $A_1$（当然 $A_1$ 所参与的所有比赛也就被取消了），剩下的队 $A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{n}$ 之间的比赛，以 $(m_2-1,m_3-1,\cdots,m_{m_1+1}-1,m_{m_1+2},\cdots,m_n)$ 为有效安排．
情形二 如果球队 $A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{n}$ 中，有些队并未安排与 $A_1$ 比赛，设在 $A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{m_1+1}$ 中，自左至右，第一个未安排与 $A_1$ 比赛的队是 $A_j$，由于 $A_1$ 要赛 $m_1$ 场，那么在 $A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{m_1+1}$ 之外必有一个队安排了与 $A_1$ 比赛，设为 $A_k$（$m_1+1<k \leqslant n$），由于 $m_j>m_k$，故必有一个队 $A_s$，它被安排了与 $A_j$ 比赛而未被安排与 $A_k$ 比赛，如图所示．
今对原安排作如下调整：
取消 $A_1$，$A_k$ 两队间，$A_j$，$A_s$ 两队间的比赛，改为 $A_1$，$A_j$ 两队间，$A_s$，$A_k$ 两队间进行比赛，其他比赛安排不变．
经过这一次调整之后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一个不与 $A_1$ 比赛的队的序号，至少后移了一个位置，故经过有限次这样的调整之后，就化成了情形一，因此结论得证．
今对原安排作如下调整：取消 $A_1$，$A_k$ 两队间，$A_j$，$A_s$ 两队间的比赛，改为 $A_1$，$A_j$ 两队间，$A_s$，$A_k$ 两队间进行比赛，其他比赛安排不变．
经过这一次调整之后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一个不与 $A_1$ 比赛的队的序号，至少后移了一个位置，故经过有限次这样的调整之后，就化成了情形一，因此结论得证．
答案
解析
备注
