题目 一元三次函数 $f\left( x \right)$ 的三次项数为 $\dfrac{a}{3}$，$f'\left( x \right)+9x<0$ 的解集为 $\left( 1,2 \right)$． 问题1 若 ${f}'\left( x \right)+7a=0$ 有两个相等实根，求 ${f}'\left( x \right)$ 的解析式； 答案1 ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-18x+6$ 解析1 设 $f\left( x \right)=\dfrac{a}{3}{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$，则$${f}'\left( x \right)=a{{x}^{2}}+2bx+c,$$因此$${f}'\left( x \right)+9x=a{{x}^{2}}+\left( 2b+9 \right)x+c,$$结合题意知，$x=1$ 和 $x=2$ 是方程 $a{{x}^{2}}+\left( 2b+9 \right)x+c=0$ 的两根．<br/>因此$$\begin{cases}a>0,\\2b=-3a-9,\\c=2a.\end{cases}$$由题意得 $a{{x}^{2}}+2bx+c+7a=0$ 有两个相等的实数根，因此其判别式$$\Delta=4b^2-4a(c+7a)=0,$$解得 $a=3$ 或 $a=-1$（舍去），所以$$b=-9,c=6.$$因此 ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-18x+6$． 备注1 问题2 若 $f\left( x \right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，求 $a$ 的范围． 答案2 $\left[ -27-18\sqrt{2},-27+18\sqrt{2} \right]$ 解析2 因为 $f\left( x \right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，所以 ${f}'\left( x \right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒有$${f}'\left( x \right)\leqslant 0,$$于是$$\begin{cases}a<0, \\ \Delta \leqslant 0, \end{cases}$$即$$\begin{cases}a<0, \\ {{a}^{2}}+54a+81\leqslant 0 ,\end{cases}$$解得$$-27-18\sqrt{2}\leqslant a\leqslant -27+18\sqrt{2}.$$ 备注2