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若正数 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x-\dfrac 2x\leqslant 4y-\dfrac{1}{2y},\\ y\leqslant \ln x,\end{cases}$，则 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e},\dfrac {17}4\right]$
B: $\left[{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$
C: $\left[2,\dfrac{17}4\right]$
D: $\left[2,{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e}\right]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
A
【解析】
函数 $y=x-\dfrac 2x$ 是 $\mathbb R^+$ 上的单调递增函数，于是\[\begin{cases} x\leqslant 4y,\\ y\leqslant \ln x,\end{cases}\]于是\[\dfrac 14\leqslant \dfrac yx\leqslant \dfrac{\ln x}x.\]利用导数可求得函数 $y=\dfrac{\ln x}x$ 的最大值为 $\dfrac{1}{\rm e}$，于是 $\dfrac yx$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 14,\dfrac{1}{\rm e}\right]$，进而\[\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac yx+\dfrac xy\]的取值范围是 $ \left[{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e},\dfrac {17}4\right]$．
题目 答案 解析 备注
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