题目 设 $a=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$，且$${{S}_{n}}=\left( {{x}_{1}}-a \right)\left( {{x}_{2}}-a \right)+\left( {{x}_{2}}-a \right)\left( {{x}_{3}}-a \right)+\cdots +\left( {{x}_{n-1}}-a \right)\left( {{x}_{n}}-a \right)+\left( {{x}_{n}}-a \right)\left( {{x}_{1}}-a \right).$$ 问题1 求证：${{S}_{3}}\leqslant 0$． 答案1 略 解析1 不妨设 ${{y}_{i}}={{x}_{i}}-a$，$i=1,2,\cdots ,n$，则$$\begin{cases}{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+\cdots +{{y}_{n}}=0,\\{{S}_{n}}={{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{y}_{2}}{{y}_{3}}+\cdots +{{y}_{n-1}}{{y}_{n}}.\end{cases}$$当 $n=3$ 时，有$${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}=0,$$所以$$\begin{split}{{S}_{3}}&={{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{y}_{2}}{{y}_{3}}+{{y}_{3}}{{y}_{1}}\\ &=-\left(y_1^2+y_2^2+{{y}_{1}}{{y}_{2}}\right) \\ &=-\left[\left(y_1+\dfrac 12y_2\right)^2+\dfrac 34y_2^2\right]\leqslant 0,\end{split}$$所以命题得证． 备注1 问题2 求 ${{S}_{4}}$ 的最大值，并给出此时 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ 满足的条件； 答案2 ${{S}_{4}}$ 的最大值为 $0$，此时 ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}={{x}_{2}}+{{x}_{4}}=2a$ 解析2 当 $n=4$ 时，有$${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=0,$$所以$$\begin{split}{{S}_{4}}&={{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{y}_{2}}{{y}_{3}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}+{{y}_{4}}{{y}_{1}}\\ &=\left( {{y}_{1}}+{{y}_{3}} \right)\left( {{y}_{2}}+{{y}_{4}} \right)\\ &\leqslant {{\left( \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}}{2} \right)}^{2}}=0,\end{split}$$等号当且仅当 ${{y}_{1}}+{{y}_{3}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}=0$ 时取得．<br/>因此 ${{S}_{4}}$ 的最大值为 $0$，此时 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ 满足$${{x}_{1}}+{{x}_{3}}={{x}_{2}}+{{x}_{4}}=2a.$$ 备注2 问题3 试求一组 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}$ 的值，使得 ${{S}_{5}}>0$． 答案3 $x_1=x_2=1,x_3=x_5=0,x_4=-2$ 解析3 由题意可知$${{S}_{5}}={{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{y}_{2}}{{y}_{3}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}+{{y}_{4}}{{y}_{5}}+{{y}_{5}}{{y}_{1}},$$令 ${{y}_{3}}={{y}_{5}}=0$，则$${{S}_{5}}={{y}_{1}}{{y}_{2}},$$进而只需$${{y}_{1}}={{y}_{2}}=1,{{y}_{4}}=-2$$即可以满足 $S_5>0$，此时$$x_1=x_2=1,x_3=x_5=0,x_4=-2,a=0.$$ 备注3