有 $100$ 个相同的集装箱里面装有 $200$ 个货物（每箱装两个）．在取出货物的过程中，货物的顺序被打乱了．现在将货物按一定的规则重新装入集装箱中，装法如下：任取一件货物，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二箱则装入，否则装入下一箱，以此类推，直到所有物品都装箱，每个箱子最多装两件货物．比如，记集装箱的体积都是1，原来有2个集装箱中的货物体积是 $\left( 0.5,0.5 \right)$，$\left( 0.7,0.3 \right)$，被打算顺序后为 $0.5,0.7,0.5,0.3$，那么就需要3个集装箱去装它们．问在最坏的情况下需要多少个集装箱才能将所有的货物装完？
【难度】
【出处】
2009年清华大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$199$
【解析】
首先证明不需要用 $200$ 个箱子装完这 $200$ 件物品．
这 $200$ 件物品无论怎样随意摆放，一定存在有两个相邻的物品放入同一个箱子，否则记这 $200$ 件物品的体积为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{200}}$，且箱子的容量为 $M$．
不妨设随意摆放的次序为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{200}}$，那么$${{a}_{1}}+{{a}_{2}},{{a}_{3}}+{{a}_{4}},\cdots ,{{a}_{199}}+{{a}_{200}}>M,$$相加得$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{200}}>100M,$$矛盾．
其次证明可以用 $199$ 个箱子装完这 $200$ 个集装箱．
设货物的体积分别为 $1,2,3,\cdots ,200$，箱子容量为 $201$，打乱后的顺序为$$1,2,200,3,199,4,198,5,\cdots ,103,102$$从第 $3$ 项起，两个等差数列交叉，那么原本可以用 $100$ 个集装箱装完$$\left( 1,200 \right),\left( 2,199 \right),\cdots,\left( 100,101 \right).$$但打乱后只有第一个集装箱装了 $\left( 1,2 \right)$，其他的集装箱都只能装一个货物，此时需要 $199$ 个集装箱才能将所有的货物装完．
这 $200$ 件物品无论怎样随意摆放，一定存在有两个相邻的物品放入同一个箱子，否则记这 $200$ 件物品的体积为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{200}}$，且箱子的容量为 $M$．
不妨设随意摆放的次序为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{200}}$，那么$${{a}_{1}}+{{a}_{2}},{{a}_{3}}+{{a}_{4}},\cdots ,{{a}_{199}}+{{a}_{200}}>M,$$相加得$${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{200}}>100M,$$矛盾．
其次证明可以用 $199$ 个箱子装完这 $200$ 个集装箱．
设货物的体积分别为 $1,2,3,\cdots ,200$，箱子容量为 $201$，打乱后的顺序为$$1,2,200,3,199,4,198,5,\cdots ,103,102$$从第 $3$ 项起，两个等差数列交叉，那么原本可以用 $100$ 个集装箱装完$$\left( 1,200 \right),\left( 2,199 \right),\cdots,\left( 100,101 \right).$$但打乱后只有第一个集装箱装了 $\left( 1,2 \right)$，其他的集装箱都只能装一个货物，此时需要 $199$ 个集装箱才能将所有的货物装完．
答案
解析
备注
