求最小正整数 $n$，使得 $I=\left(\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt3}\mathrm{i}\right)^n$ 为纯虚数，并求出 $I$．
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{9}\mathrm{i}$
【解析】
因为$$\mathrm{arg}\left(\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt3}\mathrm{i}\right)=\dfrac{\pi}{6},$$所以当 $n=3$ 时 $I$ 是纯虚数，而 $n=1,2$ 时 $I$ 均不为纯虚数．当 $n=3$ 时，有$$\begin{split}I&=\left|\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt3}{\mathrm i}\right|^3\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\\ &=\left(\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\right)^3\mathrm{i}=\dfrac{\sqrt3}{9}\mathrm{i}.\end{split}$$
答案
解析
备注
