求方程 $x = \sqrt {x + 2\sqrt {x + \cdots + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } $（$n$ 重根号）的解．
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$x = 0$ 或 $x = 3$
【解析】
显然 $x \geqslant 0$．
若 $\sqrt {3x} > x$，则$$x + 2\sqrt {3x} > 3x.$$类似的，$ RHS > \sqrt {x + 2\sqrt {3x} } > \sqrt {3x} $，矛盾；
若 $\sqrt {3x} < x$，则$$x + 2\sqrt {3x} < 3x,$$类似的，$RHS< \sqrt {x + 2\sqrt {3x} } < \sqrt {3x} $，矛盾．
于是 $\sqrt {3x} = x$，解得 $x = 0$ 或 $x = 3$．
若 $\sqrt {3x} > x$，则$$x + 2\sqrt {3x} > 3x.$$类似的，$ RHS > \sqrt {x + 2\sqrt {3x} } > \sqrt {3x} $，矛盾；
若 $\sqrt {3x} < x$，则$$x + 2\sqrt {3x} < 3x,$$类似的，$RHS< \sqrt {x + 2\sqrt {3x} } < \sqrt {3x} $，矛盾．
于是 $\sqrt {3x} = x$，解得 $x = 0$ 或 $x = 3$．
答案
解析
备注
