作仿射变换 $\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' = y - 1\end{array} \right.$，则椭圆为$$\dfrac{{{{x'}^2}}}{{{a^2}}} + {y'^2} + 2y' = 0,$$点 $A'\left( {0 , 0} \right)$，设 $B'\left( {{r_1}\cos \theta , {r_1}\sin \theta } \right)$，$C'\left( {{r_2}\cos \left( {\theta + \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right) , {r_2}\sin \left( {\theta + \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)} \right) $ 即 $C'\left( { - {r_2}\sin \theta , {r_2}\cos \theta } \right)$，则$$\dfrac{{{r_1}^2{{\cos }^2}\theta }}{{{a^2}}} + {r_1}^2{\sin ^2}\theta + 2{r_1}\sin \theta = 0,\dfrac{{{r_2}^2{{\sin }^2}\theta }}{{{a^2}}} + {r_2}{\cos ^2}\theta + 2{r_2}\cos \theta = 0,$$解得$${r_1} = - \dfrac{{2\sin \theta }}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{a^2}}} + {{\sin }^2}\theta }},{r_2} = - \dfrac{{2\cos \theta }}{{\dfrac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{a^2}}} + {{\cos }^2}\theta }},$$于是\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12 r_1r_2 \\&= \dfrac{{2{a^4}\sin \theta \cos \theta }}{{\left( {{{\cos }^2}\theta + {a^2}{{\sin }^2}\theta } \right)\left( {{{\sin }^2}\theta + {a^2}{{\cos }^2}\theta } \right)}}\\&= \dfrac{{4{a^4}}}{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}\sin 2\theta + \dfrac{{4{a^2}}}{{\sin 2\theta }}}} \\&\leqslant \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} - 1}},\end{split}\]当且仅当 ${\sin ^2}2\theta = {\left( {\dfrac{{2a}}{{{a^2} - 1}}} \right)^2}$ 时取得．根据题意 $\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} - 1}} = \dfrac{{27}}{8}$，解得 $a = 3$．
经检验，此时 ${\sin ^2}2\theta = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2}$，于是等号可以取得，$a = 3$ 为符合题意的解．