已知椭圆 $M:x^2+2y^2=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $M$ 的离心率；标注答案$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$解析椭圆 $M$ 的离心率是 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
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设 $O$ 为坐标原点，$A,B,C$ 为椭圆 $M$ 上的三个动点，若四边形 $OABC$ 为平行四边形，判断 $\triangle ABC$ 的面积是否为定值，并说明理由．标注答案为定值 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$解析利用伸缩变换 $\begin{cases}x'=\dfrac{x}{\sqrt{2}},\\ y'=y,\end{cases}$ 将椭圆 $M$ 变换成单位圆 $x'^2+y'^2=1$．由伸缩变换的性质可知，四边形 $OA'B'C'$ 是边长为 $1$ 的菱形，且 $\angle A'OC'=120^\circ$，故菱形 $OA'B'C'$ 的面积为定值 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，进而\[S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}S_{OABC}=\dfrac{1}{2}S_{OA'B'C'}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
