已知椭圆 $M:x^2+2y^2=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $M$ 的离心率；标注答案$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$解析椭圆 $M$ 的离心率是 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
-
设 $O$ 为坐标原点，$A,B,C$ 为椭圆 $M$ 上的三个动点，若四边形 $OABC$ 为平行四边形，判断 $\triangle ABC$ 的面积是否为定值，并说明理由．标注答案为定值 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$解析设 $A$ 点坐标为 $\left(x_1,y_1\right)$，$C$ 点坐标为 $\left(x_2,y_2\right)$，因为四边形 $OABC$ 为平行四边形，
所以 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，故 $B$ 点坐标为 $\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)$．由题意，\[\begin{cases}
x_1^2+2y_1^2=2\cdots ① ,\\
x_2^2+2y_2^2=2\cdots ② ,\\
\left(x_1+x_2\right)^2+2\left(y_1+y_2\right)^2=2\cdots ③ .
\end{cases}\]将 ①② 两式代入 ③ 式，有\[x_1x_2+2y_1y_2=-1,\]平方可得$$x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2=1-4x_1y_2x_2y_1.\cdots ④ $$将 ①② 两式相乘可得$$x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2+2x_1^2y_2^2+2x_2^2y_1^2=4.\cdots ⑤ $$将 ④ 式代入 ⑤ 式，有\[\left|x_1y_2-x_2y_1\right|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.\]所以\[S_{\triangle ABC}
=S_{\triangle OAB}
=\dfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1\right|
=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\]因此 $\triangle ABC$ 的面积为定值 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
