题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}$． 问题1 求曲线 $y=f(x)$ 在函数 $f(x)$ 零点处的切线方程； 答案1 ${\rm e}^2x-y-{\rm e}=0$ 解析1 函数 $f(x)$ 的零点为 $x={\rm e}^{-1}$，其导函数\[f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2},\]于是所求的切线方程为\[y={\rm e}^2\left(x-{\rm e}^{-1}\right),\]即\[{\rm e}^2x-y-{\rm e}=0.\] 备注1 问题2 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间； 答案2 函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减 解析2 函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减． 备注2 问题3 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 恰有两个不同的实根 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_2-x_1>\dfrac{1}{a}-1$． 答案3 略 解析3 当 $x>1$ 时，有\[\dfrac{\ln x+1}x>\dfrac 1x,\]于是\[x_1<1<\dfrac 1a<x_2,\]因此$$x_2-x_1>\dfrac 1a-1.$$ 备注3 左侧可以用过点 $(1,1)$ 和 $\left({\rm e}^{-1},0\right)$ 的割线$$y=\dfrac{1}{1-{\rm e}^{-1}}\left(x-{\rm e}^{-1}\right)$$增加精度，得到$$x_1<a-(1-a){\rm e}^{-1}.$$