三棱锥 $A-BCD$ 中，$\triangle BCD$，$\triangle ACD$ 均为边长为 $2$ 的正三角形，$\triangle BCD$ 在平面 $\alpha$ 内，侧棱 $AB=\sqrt3$．现对其四个顶点随机贴上写有数字 $1$ 至 $8$ 的 $8$ 个标签中的 $4$ 个，并记对应的标号为 $f(\eta)$，（$\eta$ 取值为 $A,B,C,D$），$E$ 为侧棱 $AB$ 上一点．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
-
求事件“$f(C)+f(D)$ 为偶数”的概率 $P_1$；标注答案$\dfrac37$解析用 $M_1$ 表示“$f(C)$ 和 $f(D)$ 均为奇数”的事件，$M_2$ 表示“$f(C)$ 和 $f(D)$ 均为偶数”的事件．
由题意知\[\begin{split}P(M_1)=\dfrac{\mathrm{A}_4^2}{\mathrm{A}_8^2}=\dfrac{3}{14},\\P(M_2)=\dfrac{\mathrm{A}_4^2}{\mathrm{A}_8^2}=\dfrac{3}{14}.\end{split}\]记“$f(C)+f(D)$ 为偶数”为事件 $Q$，则$$Q=M_1+M_2,$$所以$$P_1=P(M_1)+P(M_2)=\dfrac37.$$ -
若 $|BE|:|EA|=f(B):f(A)$，求二面角 $E-CD-A$ 的平面角 $\theta$ 大于 $\dfrac{\pi}{4}$ 的概率 $P_2$．标注答案$\dfrac{9}{56}$解析如图，取 $CD$ 中点 $F$，连接 $BF,AF,EF$．
因为 $\triangle BCD,\triangle ACD$ 均为边长为 $2$ 的正三角形，所以$$AF\perp CD,BF\perp CD,$$因此$$CD\perp\text{平面}ABF,$$故 $\angle AFE$ 是二面角 $E-CD-A$ 的平面角 $\theta$．
又$$AF=BF=\sqrt3=AB,$$所以 $\angle AFB=\dfrac{\pi}{3}$．
若 $\theta=\dfrac{\pi}{4}$，则$$\angle EFB=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12},$$此时$$\dfrac{|AE|}{|BE|}=\dfrac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BEF}}=\dfrac{\frac12|AF|\cdot|EF|\cdot\sin\frac{\pi}{4}}{\frac12|BF|\cdot|EF|\cdot\sin\frac{\pi}{12}}=\sqrt3+1,$$所以 $\theta$ 大于 $\dfrac{\pi}{4}$，即$$\dfrac{f(A)}{f(B)}>\sqrt3+1.$$当 $f(B)=1$ 时，$f(A)\geqslant3$，所以 $f(A)$ 可取 $3,4,5,\cdots,8$ 共 $6$ 个值；
当 $f(B)=2$ 时，$f(A)\geqslant6$，所以 $f(A)$ 可取 $6,7,8$ 共 $3$ 个值；
当 $f(B)\geqslant3$ 时，$f(A)\geqslant9$，所以 $f(A)$ 不存在．
因此$$P_2=\dfrac{9}{A_8^2}=\dfrac{9}{56}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
