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若定义在区间 $D$ 上的函数 $f(x)$ 对于 $D$ 上任意 $n$ 个值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 总满足 $\dfrac {f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}n\leqslant f\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)$，则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的凸函数，现已知 $f(x)=\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上是凸函数，则三角形 $ABC$ 中，$\sin A+\sin B+\sin C$ 的最大值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 3}{2}$
B: $3\sqrt 2$
C: $\dfrac{3\sqrt 3}{2}$
D: $3$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    琴生不等式
【答案】
C
【解析】
由凸函数的性质可得$$\dfrac 13(\sin A+\sin B+\sin C)\leqslant \sin\dfrac{A+B+C}{3},$$所以$$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant 3\sin {\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{3\sqrt 3}{2}.$$所以当 $A=B=C=\dfrac {\pi}{3}$ 时，$\sin A+\sin B+\sin C$ 取得最大值 $\dfrac{3\sqrt 3}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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