设函数 $f(x)=ax^2+bx+c,(a,b,c\in\mathbb R,a\ne0)$ 满足当 $|x|\leqslant1$ 时，均有 $|f(x)|\leqslant1$，设 $|f'(x)|$ 在 $|x|\leqslant1$ 时的最大值为 $K$，试求所有函数 $f(x)$，满足存在 $x_0\in[-1,1]$，使得 $|f'(x_0)|=K$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$f(x)=\pm(2x^2-1)$
【解析】
由题意知$$|f(0)|=|c|\leqslant1.$$因为 $b$ 和 $-b$ 中必有一个与 $a+c$ 同号，所以由$$|f(1)|=|a+b+c|\leqslant1,|f(-1)|=|a-b+c|\leqslant1,$$知$$|a+c|+|b|\leqslant1,$$即 $|a+c|\leqslant1-|b|$，因此$$|a|-|c|\leqslant|a+c|\leqslant1-|b|,$$所以$$|a|\leqslant1+|c|-|b|\leqslant2-|b|.$$当 $|x|\leqslant1$ 时，有$$|f'(x)|=|2ax+b|\leqslant2|a|+|b|\leqslant4-|b|\leqslant4.$$事实上，$f(x)=2x^2-1$ 时，$|f'(1)|=4$，所以 $K=4$．
对存在 $x_0\in[-1,1]$，使 $|f'(x_0)|=4$ 的 $f(x)$，由$$4=|f'(x_0)|\leqslant4-|b|,$$知 $|b|=0,|a|=2$．
当 $a=2$ 时，则 $f(x)=2x^2+c$，因为$$|f(1)|=|2+c|\leqslant1,$$所以 $-3\leqslant c\leqslant-1$，又因为 $|c|\leqslant1$，得 $c=-1$，故 $f(x)=2x^2-1$．
当 $a=-2$ 时，同理可得 $f(x)=-2x^2+1$ 满足条件．
综上知，满足题设条件的函数为 $f(x)=\pm(2x^2-1)$．
对存在 $x_0\in[-1,1]$，使 $|f'(x_0)|=4$ 的 $f(x)$，由$$4=|f'(x_0)|\leqslant4-|b|,$$知 $|b|=0,|a|=2$．
当 $a=2$ 时，则 $f(x)=2x^2+c$，因为$$|f(1)|=|2+c|\leqslant1,$$所以 $-3\leqslant c\leqslant-1$，又因为 $|c|\leqslant1$，得 $c=-1$，故 $f(x)=2x^2-1$．
当 $a=-2$ 时，同理可得 $f(x)=-2x^2+1$ 满足条件．
综上知，满足题设条件的函数为 $f(x)=\pm(2x^2-1)$．
答案
解析
备注
