“玛丽莲”问题是某电视台娱乐节目“决策”中提出的一系列问题．其中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors”．问题如下：台上有三个关闭的门，一个后边有汽车，其余两个后边是山羊．主持人（Monty Hall）让参加者任意选择其中一个门，然后她打开其余两个门中的一个，参加者看到的是山羊．（注意：主持人事先清楚哪扇门后面是山羊，哪扇门后面是汽车，所以她必然可以保证打开的那扇门后面是山羊）．这时，她让参加者可以重选，也就是说参加者可以换选另一个剩下的门．那么，参加者应该换还是不换？1990年，一位读者把这个问题投寄到《Parade》杂志中一个叫“去问玛丽莲”的专栏中．这个专栏的评论员是以IQ $228$ 而获得吉尼斯智商世界纪录的玛丽莲·佛斯·萨万特．玛丽莲的答案是应该换，但是很多读者不同意．玛丽莲在下一期专栏中给出一个表格说明她的道理，但是反对声更多更大了．在几千封读者来信中，反对者达九成．其中，有全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至包括著名的美籍匈牙利数学家Paul Erdos．到底应该换还是不换呢？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
换
【解析】
用 $A$ 表示事件“参加者第一次选中的门后面是山羊”，则 $P(A)=\dfrac{2}{3}$．用 $B$ 表示事件“主持人打开的门后面是山羊”．
情形一 若主持人知道内情，则 $P(B)=1$，故\[
P\left(A\mid B\right)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=P(A)=\dfrac{2}{3}.
\]情形二 若主持人不知道内情，根据抽签原理，$P(B)=P(A)=\dfrac{2}{3}$，于是\[P\left(A\mid B\right)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=\dfrac{P(A)P\left(B\mid A\right)}{P(B)}=P\left(B\mid A\right)=\dfrac{1}{2}.\]情形三 若主持人知道内情的概率为 $p$，用 $E$ 表示事件“主持人知道内情”，则 $P(E)=p$．经计算可得\[P\left(A\mid B\right)=\dfrac{1+p}{2+p}\geqslant \dfrac{1}{2}.\]在本问题中，满足的是情形一，所以不换门，拿到汽车的概率是 $\dfrac 13$；换门，则只要第一次选中的不是汽车，就一定可以得到汽车，概率是 $\dfrac 23$，所以换门更合适．如果是情形二，则换不换门得到汽车的概率相同；只要 $p>0$，换门得到汽车的概率都会更大．
P\left(A\mid B\right)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=P(A)=\dfrac{2}{3}.
\]
答案
解析
备注
