已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率 $e=\sqrt3$，其左焦点 $F_1$ 到渐近线的距离为 $\sqrt2$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求双曲线 $C$ 的方程；标注答案$x^2-\dfrac{y^2}{2}=1$解析依题意有$$ \begin{split}&\dfrac{c}{a}=\sqrt3,\\&\dfrac{|-bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt2,\end{split} $$解得 $ a=1,b=\sqrt2 $．
因此双曲线 $ C $ 的方程为 $ x^2-\dfrac{y^2}{2}=1$． -
若过点 $D(2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $A,B$ 两点，且以 $AB$ 为直径的圆过坐标原点 $O$．求直线 $AB$ 的方程．标注答案$y=x-2$ 或 $y=-x+2$解析易知直线 $AB$ 与 $x$ 轴不重合，设 $AB$ 方程为 $x=my+2$．
联立双曲线，消去 $x$ 得$$(2m^2-1)y^2+8my+6=0.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由 $\text{ ① }$ 的判别式$$\Delta=64m^2-24(2m^2-1)=16m^2+24>0,$$以及 $2m^2-1\ne0$ 知，$m^2\ne\dfrac12$．
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$$y_1+y_2=-\dfrac{8m}{2m^2-1},y_1y_2=\dfrac{6}{2m^2-1},$$所以\[\begin{split}&x_1+x_2=m(y_1+y_2)+4=-\dfrac{4}{2m^2-1},\\&x_1x_2=m^2y_1y_2+2m(y_1+y_2)+4=-\dfrac{2m^2+4}{2m^2-1}.\end{split}\]因为以 $AB$ 为直径的圆过坐标原点 $O$，所以 $x_1x_2+y_1y_2=0$，即$$6-(2m^2+4)=0,m^2=1.$$因此直线 $AB$ 的方程为 $y=x-2$ 或 $y=-x+2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
