$\triangle{ABC}$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $a:b:c=\sqrt{13}:4:3$，设 $\overrightarrow m=\overrightarrow{AB}\cos A$，$\overrightarrow n=\overrightarrow{AC}\sin A$，又 $\triangle{ABC}$ 的面积为 $S$，则 $\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \overrightarrow m\cdot \overrightarrow n&=\sin A\cdot \cos A\cdot\left(\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)\\
&=\sin A\cdot \cos^2A\cdot AB\cdot AC\\
&=2S\cdot \cos^2A\\
&=2S\cdot \left(\dfrac{4^2+3^2-\left(\sqrt {13}\right)^2}{2\cdot 4\cdot 3}\right)^2\\
&=\dfrac 12S
.\end{split}\]
&=\sin A\cdot \cos^2A\cdot AB\cdot AC\\
&=2S\cdot \cos^2A\\
&=2S\cdot \left(\dfrac{4^2+3^2-\left(\sqrt {13}\right)^2}{2\cdot 4\cdot 3}\right)^2\\
&=\dfrac 12S
.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
