如图，四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形，且 $AB\cdot CD=AD\cdot BC$，$E$ 是对角线 $AC$ 上一点．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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若 $E$ 是 $AC$ 中点，求证：$\angle ABE=\angle DBC$；标注答案略解析由托勒密定理知，$$AC\cdot BD=AB\cdot DC+AD\cdot BC.$$因为$$AB\cdot CD=AD\cdot BC,$$且 $E$ 是 $AC$ 中点，所以$$AB\cdot CD=AD\cdot BC-\dfrac12AC\cdot BD=AE\cdot BD,$$因此$$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{DB}{DC}.$$又 $\angle BAE=\angle BDC$，所以$$\triangle BAE\backsim\triangle BDC,$$因此 $\angle ABE=\angle DBC$．
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若 $\angle ABE=\angle DBC$，试问 $E$ 是否为 $AC$ 中点？说明理由．标注答案是解析由 $\angle ABE=\angle DBC$ 以及 $\angle BAE=\angle BDC$ 知，$$\triangle BAE\backsim\triangle BDC,$$所以 $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{DB}{DC}$，即$$AB\cdot DC=AE\cdot BD.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$又由托勒密定理以及 $AB\cdot CD=AD\cdot BC$ 知，$$AB\cdot CD=AD\cdot BC=\dfrac12 AC\cdot BD,\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 ①② 得$$AE=\dfrac12AC,$$即 $E$ 为 $AC$ 中点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
