如图，已知二次函数 $y=x^2+\left(1-m\right)x-m$（其中 $0<m<1$）的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，对称轴为直线 $l$．设 $P$ 为对称轴 $l$ 上的点，连接 $PA,PC$，且 $PA=PC$．在坐标轴上是否存在点 $Q$（与原点 $O$ 不重合），使得以 $Q,B,C$ 为顶点的三角形与 $\triangle PAC$ 相似，且线段 $PQ$ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $Q$ 点坐标为 $\left(-\dfrac 25,0\right)$ 或 $\left(0,\dfrac 25\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小
【解析】
二次函数 $y=x^2+\left(1-m\right)x-m=(x+1)(x-m)$，
所以点 $A(-1,0)$，点 $B(m,0)$，点 $C(0,m)$，
对称轴 $l:x=\dfrac{m-1}2$ 在 $y$ 轴的左边．
如图，过点 $P$ 作 $PD\perp y$ 轴于点 $D$，直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $E$．
易证 $\triangle AEP\cong \triangle CDP$，
所以 $PE=PD=\dfrac{1-m}2$，$CD=AE=\dfrac{m+1}2>m=CO$，
所以点 $P$ 在第二象限，即点 $P\left(\dfrac{m-1}2,\dfrac{1-m}2\right)$．
因为 $PA^2+PC^2=2\left(AE^2+PE^2\right)=1+m^2=AC^2$，
所以 $\triangle PAC$ 是等腰直角三角形．
若以 $Q,B,C$ 为顶点的三角形与 $\triangle PAC$ 相似，
则 $\triangle QBC$ 也是等腰直角三角形．
所以满足条件的点 $Q$ 的坐标为 $\left(-m,0\right)$ 或 $\left(0,m\right)$．
① 如图，当 $Q$ 点的坐标为 $\left(-m,0\right)$ 时．
i）若 $PQ$ 与 $x$ 轴垂直，则 $\dfrac {-1+m}{2}=-m$，
解得 $m=\dfrac 13$，$PQ=\dfrac 13$．
ii）若 $PQ$ 与 $x$ 轴不垂直，则
$\begin{split}PQ^2&=PE^2+EQ^2\\&=\left(\dfrac {1-m}{2}\right)^2+\left(\dfrac {-1+m}{2}+m\right)^2\\&=\dfrac 52m^2-2m+\dfrac 12\\&=\dfrac 52\left(m-\dfrac 25\right)^2+\dfrac {1}{10} .\end{split}$
因为 $ 0<m<1$，
所以当 $m=\dfrac 25$ 时，$PQ^2$ 取得的最小值为 $\dfrac {1}{10}$，$PQ$ 取得最小值 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}$．
因为 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}<\dfrac 13$，
所以当 $m=\dfrac 25$，即 $Q$ 点的坐标为 $\left(-\dfrac 25,0\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
② 如图，当 $Q$ 点的坐标为 $\left(0,m\right)$ 时．
i）若 $PQ$ 与 $y$ 轴垂直，则 $\dfrac {1-m}{2}=m$，解得 $m=\dfrac 13$，$PQ=\dfrac 13$．
ii）若 $PQ$ 与 $y$ 轴不垂直，则
$\begin{split}PQ^2&=PD^2+DQ^2\\&=\left(\dfrac {1-m}{2}\right)^2+\left(m-\dfrac {1-m}{2}\right)^2\\&=\dfrac 52m^2-2m+\dfrac 12\\&=\dfrac 52\left(m-\dfrac 25\right)^2+\dfrac {1}{10} .\end{split}$
因为 $ 0<m<1$，
所以当 $m=\dfrac 25$ 时，$PQ^2$ 取得的最小值为 $\dfrac {1}{10}$，$PQ$ 取得最小值 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}$．
因为 $ \dfrac {\sqrt {10}}{10}<\dfrac 13$，
所以当 $m=\dfrac 25$，即 $Q$ 点的坐标为 $\left(0,\dfrac 25\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
综上可得，当 $Q$ 点坐标为 $\left(-\dfrac 25,0\right)$ 或 $\left(0,\dfrac 25\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
所以点 $A(-1,0)$，点 $B(m,0)$，点 $C(0,m)$，
对称轴 $l:x=\dfrac{m-1}2$ 在 $y$ 轴的左边．
如图，过点 $P$ 作 $PD\perp y$ 轴于点 $D$，直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $E$．
易证 $\triangle AEP\cong \triangle CDP$，所以 $PE=PD=\dfrac{1-m}2$，$CD=AE=\dfrac{m+1}2>m=CO$，
所以点 $P$ 在第二象限，即点 $P\left(\dfrac{m-1}2,\dfrac{1-m}2\right)$．
因为 $PA^2+PC^2=2\left(AE^2+PE^2\right)=1+m^2=AC^2$，
所以 $\triangle PAC$ 是等腰直角三角形．
若以 $Q,B,C$ 为顶点的三角形与 $\triangle PAC$ 相似，
则 $\triangle QBC$ 也是等腰直角三角形．
所以满足条件的点 $Q$ 的坐标为 $\left(-m,0\right)$ 或 $\left(0,m\right)$．
① 如图，当 $Q$ 点的坐标为 $\left(-m,0\right)$ 时．
i）若 $PQ$ 与 $x$ 轴垂直，则 $\dfrac {-1+m}{2}=-m$，解得 $m=\dfrac 13$，$PQ=\dfrac 13$．
ii）若 $PQ$ 与 $x$ 轴不垂直，则
$\begin{split}PQ^2&=PE^2+EQ^2\\&=\left(\dfrac {1-m}{2}\right)^2+\left(\dfrac {-1+m}{2}+m\right)^2\\&=\dfrac 52m^2-2m+\dfrac 12\\&=\dfrac 52\left(m-\dfrac 25\right)^2+\dfrac {1}{10} .\end{split}$
因为 $ 0<m<1$，
所以当 $m=\dfrac 25$ 时，$PQ^2$ 取得的最小值为 $\dfrac {1}{10}$，$PQ$ 取得最小值 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}$．
因为 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}<\dfrac 13$，
所以当 $m=\dfrac 25$，即 $Q$ 点的坐标为 $\left(-\dfrac 25,0\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
② 如图，当 $Q$ 点的坐标为 $\left(0,m\right)$ 时．
i）若 $PQ$ 与 $y$ 轴垂直，则 $\dfrac {1-m}{2}=m$，解得 $m=\dfrac 13$，$PQ=\dfrac 13$．ii）若 $PQ$ 与 $y$ 轴不垂直，则
$\begin{split}PQ^2&=PD^2+DQ^2\\&=\left(\dfrac {1-m}{2}\right)^2+\left(m-\dfrac {1-m}{2}\right)^2\\&=\dfrac 52m^2-2m+\dfrac 12\\&=\dfrac 52\left(m-\dfrac 25\right)^2+\dfrac {1}{10} .\end{split}$
因为 $ 0<m<1$，
所以当 $m=\dfrac 25$ 时，$PQ^2$ 取得的最小值为 $\dfrac {1}{10}$，$PQ$ 取得最小值 $\dfrac {\sqrt {10}}{10}$．
因为 $ \dfrac {\sqrt {10}}{10}<\dfrac 13$，
所以当 $m=\dfrac 25$，即 $Q$ 点的坐标为 $\left(0,\dfrac 25\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
综上可得，当 $Q$ 点坐标为 $\left(-\dfrac 25,0\right)$ 或 $\left(0,\dfrac 25\right)$ 时，$PQ$ 的长度最小．
答案
解析
备注
