设 $A,B$ 为曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $AB$ 的斜率；标注答案$1$解析设 $A\left(4a,4a^2\right)$，$B\left(4b,4b^2\right)$，则根据题意，有\[a+b=1.\]而直线 $AB$ 的斜率为\[\dfrac{4a^2-4b^2}{4a-4b}=a+b=1.\]
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设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行，且 $AM\perp BM$，求直线 $AB$ 的方程．标注答案$x-y+7=0$解析设切线方程为 $y=x+b_0$，与曲线 $C:x^2=4y$ 联立，得\[x^2-4x-4b_0=0,\]因此 $M$ 点的横坐标为 $A,B$ 的横坐标的平均数，进而 $M(2,1)$．将坐标系按向量 $(2,1)$ 平移，则抛物线方程变为\[C':(x'+2)^2=4(y'+1),\]即\[x'^2+4x'-4y'=0.\]设新坐标系下直线 $A'B'$ 的方程为 $m(x'-y')=1$，则化齐次联立可得\[x'^2+\left(4x'-4y'\right)\cdot m\left(x'-y'\right)=0,\]由于此时 $A'M'\perp B'M'$，因此\[1+4m+4m=0,\]解得 $m=-\dfrac 18$，直线 $A'B':x'-y'+8=0$．回到原坐标系，直线 $AB$ 的方程为\[(x-2)-(y-1)+8=0,\]即 $x-y+7=0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
