题目 已知函数 $f(x)={\mathrm e}^{x}({\mathrm e}^x-a)-a^2x$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\left(-\dfrac a2\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\left(-\dfrac a2\right),+\infty\right)$ 上单调递增；<br/>当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；<br/>当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增 解析1 设 $g(x)=x^2-ax-a^2\ln x$，则 $f(x)=g\left({\rm e}^x\right)$，可以看成是函数 $g(x)$ 和指数函数 $y={\rm e}^x$ 的复合函数．函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{(2x+a)(x-a)}x,\]因此当 $a<0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\dfrac a2,+\infty\right)$ 上单调递增；当 $a=0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．考虑到函数 $y={\rm e}^x$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，因此<br/>当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\left(-\dfrac a2\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\left(-\dfrac a2\right),+\infty\right)$ 上单调递增；<br/>当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；<br/>当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若 $f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left[-2{\rm e}^{\frac 34},1\right]$ 解析2 <case>情形一</case> $a<0$．此时 $f(x)\geqslant 0$ 等价于\[g\left(-\dfrac a2\right)=a^2\left[\dfrac 34-\ln\left(-\dfrac a2\right)\right]\geqslant 0,\]解得 $-2{\rm e}^{\frac 34}\leqslant a<0$．<br/><case>情形二</case> $a=0$．此时 $f(x)={\rm e}^{2x}$，符合题意．<br/><case>情形三</case> $a>0$．此时 $f(x)\geqslant 0$ 等价于\[g(a)=-a^2\ln a\geqslant 0,\]解得 $0<a\leqslant 1$．<br/>综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[-2{\rm e}^{\frac 34},1\right]$． 备注2