设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP}=\sqrt 2\overrightarrow{NM}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求点 $P$ 的轨迹方程；标注答案$x^{2}+y^{2}=2$解析设 $P(x,y)$，由 $\overrightarrow{NP}=\sqrt 2\overrightarrow{NM}$，可得 $M\left(x,\dfrac{\sqrt 2}{2}y\right)$，因为 $M$ 在椭圆 $C$ 上，所以 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}=2$．
-
设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$．证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$．标注答案略解析设 $P(\sqrt 2\cos\theta ,\sqrt 2\sin\theta)$，$Q(-3,m)$，由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$ 可得\[(\sqrt 2\cos\theta,\sqrt 2\sin\theta )\cdot (-3-\sqrt 2\cos\theta,m-\sqrt 2\sin\theta)=1,\]故有\[\sqrt 2m\sin\theta-3\sqrt 2\cos\theta=3.\]左焦点 $F(-1,0)$，故只需证明 $PF\perp OQ$，即证\[(-1-\sqrt 2\cos\theta,-\sqrt 2\sin\theta)\cdot (-3,m)=0,\]也即证\[3+3\sqrt 2\cos\theta-\sqrt 2m\sin\theta=0,\]因此命题得证．故过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
